Question

已知直線l₁：kx-y+

5

k=0與直線l₂：x+k y-

5

=0的交點(diǎn)為P，（1）求點(diǎn)P的軌跡方程； （2）已知點(diǎn)Q（3，2），直線l：y=mx-2m+1 （m∈R）與點(diǎn)P的軌跡交于E、F兩點(diǎn)，試判斷

QE

•

QF

×tan∠EQF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓

分析：（1）直線l₁：kx-y+

5

k=0過(guò)點(diǎn)A（-

5

，0），直線l₂：x+k y-

5

=0過(guò)定點(diǎn)B（

5

，0），交點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓，可得點(diǎn)P的軌跡方程； 
（2）

QE

•

QF

×tan∠EQF=|

QE

||

QF

|sin∠EQF=2S，故只要求S_△EQF的最大值即可．

解答： 解：（1）由題意，直線l₁：kx-y+

5

k=0過(guò)點(diǎn)A（-

5

，0），直線l₂：x+k y-

5

=0過(guò)定點(diǎn)B（

5

，0），交點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓，∴求點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=5； …（5分）
（2）

QE

•

QF

×tan∠EQF存在最大值．

QE

•

QF

×tan∠EQF=|

QE

||

QF

|sin∠EQF=2S，故只要求S_△EQF的最大值即可     …（7分）
∵直線l：y=mx-2m+1 （m∈R）過(guò)定點(diǎn)（2，1），此點(diǎn)在點(diǎn)P的軌跡上，
不妨設(shè)為E，則可設(shè)直線l與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為F（

5

cosθ，

5

sinθ），
由于

QE

=（-1，-1），∴|

QE

|=

2

  …（9分）
又直線l_QE：x-y-1=0，∴點(diǎn)F到直線l_QE的距離d=

| 5 cosθ- 5 sinθ-1|

2

=

| 10 sin(θ-\f(π

4

)-1|，

2

)≤

10 +1

2

（當(dāng)且僅當(dāng)θ=2kπ-

π

4

，k∈Z時(shí)，取等號(hào)），…（11分）
∴S_△EQF=

1

2

|

QE

|d≤

10 +1

2

，∴

QE

•

QF

×tan∠EQF最大值為

10

+1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查圓的參數(shù)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．