Question

如圖，△ABO是以AB為斜邊的等腰直角三角形，OD⊥平面ABO，BC∥OD，且OD=2BC=2OA=2，E是AD中點，
（Ⅰ）求證：CE∥平面ABO；
（Ⅱ）求三棱錐E-ABC的體積V_E-ABC．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取OA的中點F，連接BF，EF，先證明出四邊形EFBC是平行四邊形，進而推斷出EC∥FB，根據線面平行的判定定理證明出EC∥平面ABO．
（Ⅱ）作AH⊥BF于H，先證明出平面EFBC⊥平面ABO，進而根據面面垂直的性質推斷出AH⊥平面EFBC，分別求得OD，BC和OF，最后求得體積

解答： 解：（Ⅰ）如圖所示，取OA的中點F，連接BF，EF，
∵E是AD的中點，
∴EF∥OD，且EF=

1

2

OD，
又BC∥OD，且OD=2BC=2OA=2，
∴EF∥BC，且EF=BC，
∴四邊形EFBC是平行四邊形，
∴EC∥FB，又E?平面ABO，FB?平面ABO，
∴EC∥平面ABO．
（Ⅱ）如圖，作AH⊥BF于H，由（Ⅰ）知，BC⊥平面ABO，BC?平面EFBC，
∴平面EFBC⊥平面ABO，
∴AH⊥平面EFBC，
∵OD=2BC=2OA=2，
∴BC=1．
OF=AF=

1

2

，CE=BF=

1+ 1 4

=

5

2

，由

AH

AF

=

OB

BF

，得AH=

5

5

．
∴V_E-ABC=

1

3

×

1

2

×1×

5

2

×

5

5

=

1

12

．

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理的應用．考查了學生空間觀察和思維能力．