Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），且

a

，

b

滿足關(guān)系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k為正實數(shù)）．
（1）求將

a

•

b

表示為k的函數(shù)f（k）；
（2）求函數(shù)f（k）的最小值及取最小值時

a

 ， 

b

的夾角θ．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,數(shù)量積表示兩個向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），可得|

a

|=|

b

|=1．由

a

，

b

滿足關(guān)系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k為正實數(shù)）．利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得：k2

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3(

a

2+k2

b

2-2k

a

•

b

)，即可得出．
（2）由f（k）=

k2+1

4k

利用基本不等式的性質(zhì)、向量的夾角公式即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=|

b

|=1，
∵

a

，

b

滿足關(guān)系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k為正實數(shù)）．
∴k2

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3(

a

2+k2

b

2-2k

a

•

b

)，
化為k2+1+8k

a

•

b

=3+2k²，
化為f(k)=

k2+1

4k

   (k＞0)．
（2）f（k）=

k2+1

4k

≥

2k

4k

=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時，f（k）取得最小值為

1

2

，

a

•

b

=

1

2

=cosθ，
∵θ∈[0，π]．
此時，θ=

π

3

．

點評：本題考查了數(shù)量積的運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、向量的夾角公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．