Question

5．已知數(shù)列{a_n}是各項均不為零的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$（n∈N^*）．若不等式λS_n≥a_n-2016對任意n∈N^*恒成立，則實數(shù)λ的最小值為$\frac{1}{2017}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式求得數(shù)列首項和公差，進一步求得數(shù)列通項和前n項和，代入λS_n≥a_n-2016，分離參數(shù)λ，然后利用二次函數(shù)求得最值得答案．

解答 解：由a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$，得a_n²=S_2n-1，
令n=1，n=2，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}}^{2}={S}_{1}}\\{{{a}_{2}}^{2}={S}_{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}}^{2}={a}_{1}}\\{（{a}_{1}+d）^{2}=3{a}_{1}+3d}\end{array}\right.$，
∵a_n≠0，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
${S}_{n}=n×1+\frac{n（n-1）}{2}×2={n}^{2}$．
由不等式λS_n≥a_n-2016，得λn²≥2n-1-2016=2n-2017．
∴$λ≥\frac{2n-2017}{{n}^{2}}=\frac{2}{n}-\frac{2017}{{n}^{2}}$．
由二次函數(shù)的性質可知，當$\frac{1}{n}=\frac{1}{2017}$，即n=2017時，$（\frac{2}{n}-\frac{2017}{{n}^{2}}）_{max}=\frac{2}{2017}-\frac{2017}{201{7}^{2}}=\frac{1}{2017}$．
∴實數(shù)λ的最小值為$\frac{1}{2017}$．
故答案為：$\frac{1}{2017}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列通項公式的求法，訓練了二次函數(shù)最值的求法，是中檔題．