Question

13．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4≥0\\ 3x+y-3≥0\end{array}\right.$，若$\overrightarrow a=（y，x+m）$，$\overrightarrow b=（y，x-m）$，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，則正實(shí)數(shù)m的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{85}}}{5}$
• B． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{16}{5}$

Answer 1

分析 通過向量垂直數(shù)量積為0，推出m的方程，然后畫出可行域，求解正實(shí)數(shù)m的最小值．

解答 解：$\overrightarrow a=（y，x+m）$，$\overrightarrow b=（y，x-m）$，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
可得m²=y²+x²，正實(shí)數(shù)m=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4≥0\\ 3x+y-3≥0\end{array}\right.$，可行域如圖：
正實(shí)數(shù)m=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線x+2y-4=0的距離的最小值，
由點(diǎn)到直線的距離距離公式可知：d=$\frac{4}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，向量的數(shù)量積，以及表達(dá)式的幾何意義，考查分析問題解決問題的能力．