Question

3．已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，a_n+1=2a_n+4ⁿ+2，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 把已知遞推式兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹，然后分別取n=1、2、…、n-1，再利用累加法，分組后由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和即可求得答案．

解答 解：由a_n+1=2a_n+4ⁿ+2，得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+{2}^{n-1}+\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}+{2}^{0}+\frac{1}{2}$，
$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}=\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}+{2}^{1}+\frac{1}{{2}^{2}}$，
$\frac{{a}_{4}}{{2}^{4}}=\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}+{2}^{2}+\frac{1}{{2}^{3}}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}+{2}^{n-2}+\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+（{2}^{0}+{2}^{1}+…+{2}^{n-2}）$$+（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$
=$\frac{1}{2}+\frac{1×（1-{2}^{n-1}）}{1-2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}+{2}^{n-1}-1+1-\frac{1}{{2}^{n-1}}$=${2}^{n-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}={2}^{2n-1}+{2}^{n-1}-2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．