Question

7．已知雙曲線C₁：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1，雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，M 是雙曲線C₂ 一條漸近線上的點，且OM⊥MF₂，若△OMF₂的面積為 16，且雙曲線C₁，C₂的離心率相同，則雙曲線C₂的實軸長為（　�。�

• A． 4
• B． 8
• C． 16
• D． 32

Answer 1

分析 求得雙曲線C₁的離心率，求得雙曲線C₂一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，運用點到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式，化簡整理解方程可得a=8，進而得到雙曲線的實軸長．

解答 解：雙曲線C₁：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1的離心率為e=$\frac{c′}{a′}$=$\sqrt{1+（\frac{^{′}}{a′}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
設F₂（c，0），雙曲線C₂一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
可得|F₂M|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
即有|OM|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
由△OMF₂的面積為16，可得$\frac{1}{2}$ab=16，
即ab=32，又a²+b²=c²，且$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得a=8，b=4，c=4$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的實軸長為16．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運用點到直線的距離公式和離心率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．