Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，前n項(xiàng)和為S_n，記數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若a₁∈[$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{1949}$]，且$\frac{{S}_{6}}{{S}_{3}}$=9，則當(dāng)n=11時(shí)，T_n有最小值．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得q，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得T_n，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：q=1不滿足條件，舍去．
∵$\frac{{S}_{6}}{{S}_{3}}$=9，∴$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}}$=1+q³=9，
解得q=2．
∴${a}_{n}={a}_{1}×{2}^{n-1}$，
log₂a_n=log₂a₁+（n-1）．
∴T_n=nlog₂a₁+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}$+n$（lo{g}_{2}{a}_{1}-\frac{1}{2}）$，
∵a₁∈[$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{1949}$]，
∴l(xiāng)og₂a₁∈[-log₂2016，-log₂1949]，
∴-$\frac{lo{g}_{2}{a}_{1}-\frac{1}{2}}{2×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}-lo{g}_{2}{a}_{1}$∈$[\frac{1}{2}+lo{g}_{2}1949，\frac{1}{2}+lo{g}_{2}2016]$，
∵1024=2¹⁰＜1949＜2016＜2048=2¹¹，
∴$\frac{1}{2}+11$＞$\frac{1}{2}+lo{g}_{2}2016$＞$\frac{1}{2}+lo{g}_{2}1949$＞$\frac{1}{2}+10$，
∴當(dāng)n=11時(shí)，T_n取得最小值．
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．