Question

5．已知a，b是異面直線(xiàn)，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，則a，b所成角的大小是60°．

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，進(jìn)而可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$，代入夾角公式可得cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞，可得向量的夾角，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：由AC⊥b，BD⊥b可得AC⊥CD，BD⊥CD，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DB}$）•$\overrightarrow{CD}$
=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CD}$+|$\overrightarrow{CD}$|²+$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{CD}$
=0+|$\overrightarrow{CD}$|²+0=1，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{1}{2}$，
故向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$的夾角為60°
∴a與b的夾角為60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)所成的角，化為向量的夾角進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．