Question

13．已知函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則f（$\frac{3}{2}$）=（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件“對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x）”利用賦值法求出f（$\frac{1}{2}$）=0，f（$\frac{3}{2}$）=0，從而求出所求．

解答 解：由xf（x+1）=（1+x）f（x）可得
$\frac{3}{2}$$f（\frac{5}{2}）$=$\frac{5}{2}$$f（\frac{3}{2}）$，$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）
$-\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$）
又∵f（$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）
∴f（$\frac{1}{2}$）=0，f（$\frac{3}{2}$）=0，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)求值問(wèn)題，以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題．