Question

12．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足$\frac{2a-b}{c}$=$\frac{cosB}{cosC}$，
（1）求角C的大�。�
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2sinxcosxcosC+2sin²xsinC-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理化簡已知可得2sinAcosC=sinA，結(jié)合sinA≠0，可求2cosC=1，從而可求∠C的值．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$$≤\frac{2π}{3}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$\frac{2a-b}{c}=\frac{cosB}{cosC}$，
∴（2a-b）cosC=ccosB，
∴2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC
∴2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，
∵∠A是△ABC的內(nèi)角，
∴sinA≠0，
∴2cosC=1，
∴∠C=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可知∠C=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-2sin²x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$$≤\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．