Question

17．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作漸近線的垂線，設垂足為P（P為第一象限的點），延長FP交拋物線y²=2px（p＞0）于點Q，其中該雙曲線與拋物線有一個共同的焦點，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OQ}$），則雙曲線的離心率的平方為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OQ}$），可得P為FQ的中點，設F（c，0），一條漸近線方程和垂直的垂線方程，求得交點P的坐標，由中點坐標公式可得Q的坐標，代入拋物線的方程，結合離心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OQ}$），可得P為FQ的中點，
設F（c，0），由漸近線方程y=$\frac{a}$x，①
可設直線FP的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），②
由①②解得P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由中點坐標公式可得Q（$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{2ab}{c}$），
代入拋物線的方程可得$\frac{4{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$=2p•（$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c），③
由題意可得c=$\frac{p}{2}$，即2p=4c，
③即有c⁴-a²c²-a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e⁴-e²-1=0，
解得e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和中點坐標公式，以及點滿足拋物線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．