Question

14．設(shè)x∈（0，π），則函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{4}{sinx}$的最小值是（　�。�

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 先求導函數(shù)，然后根據(jù)x∈（0，π）可判定導數(shù)符號，從而得到函數(shù)在區(qū)間（0，π）上的單調(diào)性，從而可求出該函數(shù)的最值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{4}{sinx}$，
∴f′（x）=cosx-$\frac{4cosx}{{sin}^{2}x}$=$\frac{cosx（{sin}^{2}x-4）}{{sin}^{2}x}$，
當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f′（x）＜0，
∴f（x）=sinx+$\frac{4}{sinx}$在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，（$\frac{π}{2}，π$）時函數(shù)是單調(diào)遞增，
∴當x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)y取得最小值為sin$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{sin\frac{π}{2}}$=1+4=5，
∴函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{4}{sinx}$的最小值為5．
故選：B．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值最值，如果利用基本不等式進行求解無法取得最小值，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．