Question

3．已知角α的頂點在坐標原點O，始邊與x軸的正半軸重合，終邊過點P（1，7）．
（1）求cos（$\frac{π}{4}$+α）的值；
（2）若$\frac{3π}{4}$＜β＜$\frac{5π}{4}$，sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x=1，y=7，可得r的值，由運算求得cosα，sinα結果，進而利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可計算得解．
（2）由（1）利用兩角和的正弦函數(shù)公式可得sin（$\frac{π}{4}$+α）的值，結合角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cos（β-$\frac{π}{4}$）的值，進而利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin（α+β）的值．

解答 解：（1）∵由題意可得：x=1，y=7，
∴r=5$\sqrt{2}$，
∴cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$+α）=cos$\frac{π}{4}$cosα-sin$\frac{π}{4}$sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{10}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）=-$\frac{3}{5}$．
（2）由（1）可得：sin（$\frac{π}{4}$+α）=sin$\frac{π}{4}$cosα+cos$\frac{π}{4}$sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{10}$+$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）=$\frac{4}{5}$．
∵$\frac{3π}{4}$＜β＜$\frac{5π}{4}$，sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，
∴可得：$\frac{π}{2}$＜$β-\frac{π}{4}$＜π，cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（β-\frac{π}{4}）}$=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）
=sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（β-$\frac{π}{4}$）]
=sin（$\frac{π}{4}$+α）cos（β-$\frac{π}{4}$）+cos（$\frac{π}{4}$+α）sin（β-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{4}{5}$×（-$\frac{12}{13}$）+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{5}{13}$
=-1．

點評 本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關系式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．