Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線(xiàn)C₂：ρ=4sinθ
（Ⅰ）求C₁的普通方程和C₂的直角坐標(biāo)方程
（Ⅱ）判斷直線(xiàn)C₁與曲線(xiàn)C₂的位置關(guān)系，若相交，求出弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去t，求出C₁的方程即可，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，求出c₂的方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立方程組，求出弦長(zhǎng)即可．

解答 解：（Ⅰ）∵C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴C₁的方程是：x+y=3；
由C₂：ρ=4sinθ，
ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，
得x²+y²=4y，
故x²+（y-2）²=4；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{{x}^{2}{+（y-2）}^{2}=4}\end{array}\right.$，
得2x²-2x-3=0，
故△=28＞0，
故直線(xiàn)和圓相交，
x₁+x₂=5，x₁x₂=$\frac{9}{2}$，
故弦長(zhǎng)d=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程以及直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)問(wèn)題，是一道中檔題．