Question

14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，已知$\frac{a+c}$=$\frac{a+b-c}{a+b}$
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若a=15，b=10，求cosB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知整理可得：b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），可求A的值．
（Ⅱ）利用大邊對(duì)大角可求B為銳角，利用正弦定理可求sinB=$\frac{b•sinA}{a}$，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得cosB的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{a+c}$=$\frac{a+b-c}{a+b}$，整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{3}$，a=15，b=10，a＞b，
∴B為銳角，
∴sinB=$\frac{b•sinA}{a}$=$\frac{10×\frac{\sqrt{3}}{2}}{15}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，大邊對(duì)大角，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．