Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（-1+x）=f（-1-x），f（0）=1，f（-1）=0，令g（x）=ln（x-1）²-f（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式及函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）關(guān)于x的方程g（x）=-x²-x-1-a在[0，2]上恰有兩個不等的實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的對稱性求出函數(shù)的對稱軸，結(jié)合f（0）=c=1，f（-1）=a-b+c=0，求出a，b，c的值，從而求出f（x）的表達式，求出g（x）的表達式，通過求導(dǎo)得到g（x）的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為ln（x+1）²-x+a=0，令ω（x）=ln（x+1）²-x+a，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由f（-1+x）=f（-1-x），
得：-$\frac{2a}$=-1，
又f（0）=c=1，f（-1）=a-b+c=0，
解得：a=1，b=2，c=1，
∴函數(shù)f（x）的表達式是f（x）=（x+1）²，
∴g（x）=ln（x+1）²-（x+1）²，
∴g′（x）=-$\frac{2x（x+2）}{x+1}$，（x≠-1），
由g′（x）＞0，解得：x∈（-∞，-2）∪（-1，0），
由g′（x）＜0，解得：x∈（-2，-1）∪（0，+∞），
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2）∪（-1，0），遞減區(qū)間是（-2，-1）∪（0，+∞）；
（2）g（x）=-x²-x-1-a即為ln（x+1）²-x+a=0，
令ω（x）=ln（x+1）²-x+a，則ω′（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
∴函數(shù)ω（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，
又方程g（x）=-x²-x-1-a在[0，2]上恰有兩個不等的實根，
則$\left\{\begin{array}{l}{ω（0）≤0}\\{ω（1）＞0}\\{ω（2）≤0}\end{array}\right.$，解得：a∈（1-2ln2，2-2ln3]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．