(本小題滿分12分)已知橢圓C:(.

(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標準方程;
(2)在(1)的條件下,設過定點的直線與橢圓C交于不同的兩點,且為銳角(其中為坐標原點),求直線的斜率k的取值范圍;
(3)如圖,過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點,設原點到四邊形一邊的距離為,試求滿足的條件.

(1)(2)(3)

解析試題分析:(1) ……2分
(2)顯然直線x=0不滿足題設條件,可設直線l
.
,……4分
(1)

 ∴所以(2)由(1)(2)得!6分
(3)由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形,原點O到各邊的距離相等。
當P在y軸上,Q在x軸上時,直線PQ的方程為,由d=1得,……
當P不在y軸上時,設直線PS的斜率為k,,則直線RQ的斜率為,
,得……(1),同理……(2) ……8分
在Rt△OPQ中,由,即
所以,化簡得,即。
綜上,d=1時a,b滿足條件……12分
考點:橢圓方程及性質(zhì),直線與橢圓相交問題
點評:直線與橢圓相交聯(lián)立方程利用韋達定理設而不求是常用的思路,第二問中將夾角是銳角時轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積小于零,從而可用點的坐標表示,

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知點M是圓C:上的一點,且軸,為垂足,點滿足,記動點的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲線E的長為2的動弦,O為坐標原點,求面積S的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知橢圓的離心率為,定點,橢圓短軸的端點是,,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設過點且斜率不為的直線交橢圓,兩點.試問軸上是否存在定點,使平分?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

分別是橢圓的左,右焦點。
(Ⅰ)若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點,且,求點的坐標。
(Ⅱ)設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點,且為銳角(其中O為坐標原點),求直線的斜率的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知點在橢圓C 上,且橢圓C的離心率

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點作直線交橢圓C于點A.B.ABQ的垂心為T,是否存在實數(shù)m ,使得垂心Ty軸上.若存在,求出實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本題滿分10分)
若直線過點(0,3)且與拋物線y2=2x只有一個公共點,求該直線方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知三點,曲線上任一點滿足=
(1) 求曲線的方程;
(2) 設是(1)中所求曲線上的動點,定點,線段的垂直平分線與軸交于點,求實數(shù)的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知橢圓的中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是它的一個焦點,又點在該橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為直線與橢圓交于不同的兩點,當面積的最大值時,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知直線l1:4x:-3y+6=0和直線l2x=-p/2:.若拋物線C:y2=2px上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.
(I )求拋物線C的方程;
(II)若以拋物線上任意一點M為切點的直線l與直線l2交于點N,試問在x軸上是否存 在定點Q,使Q點在以MN為直徑的圓上,若存在,求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.

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