Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-ax+b，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y=x-1
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，$\frac{f（x）}{x-1}$＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線的方程，可得a，b的方程，解得a，b的值；
（Ⅱ）原不等式即為$\frac{（x+1）lnx-（x-1）}{x-1}$＞0，即有x＞1時(shí)，lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$；0＜x＜1時(shí)，lnx＜$\frac{x-1}{x+1}$．設(shè)g（x）=lnx-$\frac{x-1}{x+1}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-ax+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$-a，
可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2-a，
由切線方程y=x-1，可得2-a=1，解得a=1，
由f（1）=b-a=0，解得b=a=1；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，$\frac{f（x）}{x-1}$＞0即為
$\frac{（x+1）lnx-（x-1）}{x-1}$＞0，即有x＞1時(shí)，lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$；
0＜x＜1時(shí)，lnx＜$\frac{x-1}{x+1}$．
設(shè)g（x）=lnx-$\frac{x-1}{x+1}$，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）^{2}}$＞0，
則g（x）在（0，1），（1，+∞）遞增，
可得x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0；0＜x＜1時(shí)，g（x）＜g（1）=0．
則當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，$\frac{f（x）}{x-1}$＞0成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．