Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上部同于A、B的一點(diǎn)，且AB=2，PA=BC=1
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求二面角P-BC-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)PA⊥平面ABC便可得到BC⊥PA，又可說明BC⊥AC，從而得到BC⊥平面PAC，從而得出平面PAC⊥平面PBC；
（2）由（1）便知∠PCA為二面角P-BC-A的平面角，根據(jù)已知的邊的長度，即可求得AC，PA是已知的，從而可求tan∠PCA，從而求出∠PCA．

解答 解：（1）證明：PA⊥平面ABC，BC?平面ABC；
∴PA⊥BC，即BC⊥AC；
又C是⊙O上異于A，B的一點(diǎn)，AB為直徑；
∴BC⊥AC，AC∩PA=A；
∴BC⊥平面PAC，BC?平面PBC；
∴平面PAC⊥平面PBC；
（2）BC⊥平面PAC，PC?平面PAC；
∴BC⊥PC，又BC⊥AC；
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角；
在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=$\sqrt{3}$；
在Rt△PAC中，$PA=1，AC=\sqrt{3}$，∴$tan∠PCA=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴∠PCA=30°；
即二面角P-BC-A的大小為30°．

點(diǎn)評 考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，以及直徑所對圓周角為直角，直角三角形邊的關(guān)系，二面角的平面角的概念及求法．