Question

3．如圖，已知四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°．
（1）證明：PB⊥BC；
（2）若PB=3，求直線(xiàn)AB與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中點(diǎn)O，連OP、OB，證明AD⊥平面POB，利用BC∥AD，可得BC⊥平面POB，從而可得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線(xiàn)AB與平面PBC所成角的正弦值

解答 （1）證明：取AD中點(diǎn)O，連OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，
又OP∩OB=O，∴AD⊥平面POB，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，
∵PB?平面POB，∴BC⊥PB，即∠PBC=90°．
（2）解：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），
由PO=BO=$\sqrt{3}$，PB=3，得∠POB=120°，∴∠POz=30°，∴P（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
則$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-x=0}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}y-\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線(xiàn)AB與平面PBC所成的角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面垂直，考查線(xiàn)面角，考查空間想象能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．