Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=x-|x+2|-|x-3|-m（m∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)m=-4時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）若存在x₀∈R，使得f（x₀）≥$\frac{1}{m}$-4，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用絕對值的意義，去掉絕對值號，化為分段函數(shù)，利用分段函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)的最值；
（II）由$f（{x_0}）≥\frac{1}{m}-4$，即${x_0}-|{x_0}+2|-|{x_0}-3|+4≥m+\frac{1}{m}$，轉(zhuǎn)為$m+\frac{1}{m}≤g{（x）_{max}}=2$，分類討論m，即可求解實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=-4時，$f（x）=x-|x+2|-|x-3|+4=\left\{\begin{array}{l}3x+3，x＜-2\\ x-1，-2≤x≤3\\-x+5，x＞3\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，3]上是增函數(shù)，在（3，+∞）上是減函數(shù)，所以f（x）_max=f（3）=2．
（Ⅱ）$f（{x_0}）≥\frac{1}{m}-4$，即${x_0}-|{x_0}+2|-|{x_0}-3|+4≥m+\frac{1}{m}$，
令g（x）=x-|x+2|-|x-3|+4，則存在x₀∈R，使得g（x₀）≥$m+\frac{1}{m}$成立，
∴$m+\frac{1}{m}≤g{（x）_{max}}=2$，即$m+\frac{1}{m}≤2$，
∴當(dāng)m＞0時，原不等式為（m-1）²≤0，解得m=1，
當(dāng)m＜0時，原不等式為（m-1）²≥0，解得m＜0，
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）∪{1}．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．