Question

19．甲，乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n（n∈N⁺）局，根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為$\frac{1}{2}$．如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P（n）．
（1）求P（2）與P（3）的值；
（2）試比較P（n）與P（n+1）的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）若甲、乙比賽4局甲獲勝，則甲在4局比賽中至少勝3局，由此能求出P（2），同理能求出P（3）的值．
（2）在2n局比賽中甲獲勝，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n+1局，從而$P（{n+1}）=\frac{1}{2}（{1-\frac{{C_{2n+2}^{n+1}}}{{{2^{2n+2}}}}}）$，由此能求出P（n）＜P（n+1）．

解答 解：（1）若甲、乙比賽4局甲獲勝，則甲在4局比賽中至少勝3局，
所以$P（2）=C_4^3{（{\frac{1}{2}}）^4}+C_4^4{（{\frac{1}{2}}）^4}=\frac{5}{16}$，
同理$P（3）=C_6^4{（{\frac{1}{2}}）^6}+C_6^5{（{\frac{1}{2}}）^6}+C_6^6{（{\frac{1}{2}}）^6}=\frac{11}{32}$．
（2）在2n局比賽中甲獲勝，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n+1局，
故$P（n）=C_{2n}^{n+1}{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}+C_{2n}^{n+2}{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}+…+C_{2n}^{2n}{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}$=$（{C_{2n}^{n+1}+C_{2n}^{n+2}+…+C_{2n}^{2n}}）•{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}=\frac{1}{2}（{{2^{2n}}-C_{2n}^n}）•{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}=\frac{1}{2}（{1-\frac{{C_{2n}^n}}{{{2^{2n}}}}}）$，
所以$P（{n+1}）=\frac{1}{2}（{1-\frac{{C_{2n+2}^{n+1}}}{{{2^{2n+2}}}}}）$，
又因?yàn)?\frac{{\frac{{C_{2n}^n}}{{{2^{2n}}}}}}{{\frac{{C_{2n+2}^{n+1}}}{{{2^{2n+2}}}}}}=\frac{{4C_{2n}^n}}{{C_{2n+2}^{n+1}}}=\frac{{4\frac{{（{2n}）!}}{n!n!}}}{{\frac{{（{2n+2}）!}}{{（{n+1}）!（{n+1}）!}}}}=\frac{{4{{（{n+1}）}^2}}}{{（{2n+2}）（{2n+1}）}}=\frac{{2（{n+1}）}}{2n+1}＞1$，
所以$\frac{{C_{2n}^n}}{{{2^{2n}}}}＞\frac{{C_{2n+2}^{n+1}}}{{{2^{2n+2}}}}$，所以P（n）＜P（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．