Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}$=1（b＞0），雙曲線在第一象限一點P滿足|OP|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|．離心率e∈（1，2]．則點P的縱坐標的最大值為3．

Answer 1

分析 設(shè)出P的坐標，利用距離公式結(jié)合離心率的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：∵雙曲線在第一象限一點P滿足|OP|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|．
∴|OP|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c=$\sqrt{4+b}$，
設(shè)P（x，y），則x＞0，y＞0，
則$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}$=1，即x²=4+$\frac{4{y}^{2}}$，
則|OP|²=x²+y²=4+b，
即4+$\frac{4{y}^{2}}$+y²=4+b，即y²=$\frac{^{2}}{4+b}$，
∵e∈（1，2]．
∴1＜$\frac{c}{a}$≤2，
即1＜$\frac{\sqrt{4+b}}{2}$≤2，
則2＜$\sqrt{4+b}$≤4，0＜b≤12，
設(shè)4+b=t，則b=t-4，4＜t≤16，
則y²=$\frac{^{2}}{4+b}$=$\frac{（t-4）^{2}}{t}$=$\frac{{t}^{2}-8t+8}{t}$=t+$\frac{8}{t}$-8在4＜t≤16上為增函數(shù)，
∴當t=16時，t+$\frac{16}{t}$-8=16+$\frac{16}{16}-8$=9，
此時y=9為最大值，
即點P的縱坐標的最大值為3，
故答案為：3．

點評 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，設(shè)出點的坐標，結(jié)合距離公式，利用消元法轉(zhuǎn)化為函數(shù)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．