Question

8．已知雙曲線M：x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)點(diǎn)F₁與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P在焦點(diǎn)為（0，1）的拋物線y=mx²上，則雙曲線M的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{65}}{8}$
• C． $\frac{8\sqrt{7}}{21}$
• D． $\frac{\sqrt{35}}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)與拋物線的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：過(guò)點(diǎn)F₁（-c，0）與雙曲線的一條漸近線y=x平行的直線方程為y=b（x+c），
與另一條漸近線y=-bx聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=b（x+c）}\\{y=-bx}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{c}{2}}\\{y=\frac{bc}{2}}\end{array}\right.$，即P（-$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2}$），
由y=mx²上得x²=$\frac{1}{m}$y，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{4m}$），
由$\frac{1}{4m}$=1得m=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{bc}{2}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{{c}^{2}}{4}$，即c=8b，
∵c²=b²+1，
∴b²=$\frac{1}{63}$，即e=$\sqrt{1+^{2}}$=$\frac{8\sqrt{7}}{21}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心離的計(jì)算，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)以及交點(diǎn)與拋物線的關(guān)系建立方程是解決本題的關(guān)鍵．