Question

13．已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，有f（x+2）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1），則f（-2011）+f（2012）=1．

Answer 1

分析 先根據(jù)f（x+2）=-f（x），（x≥0），便可得到f（x+4）=f（x），所以便可得到f（x）的周期為4，這樣便可求得f（-2011）=f（2011）=f（3+4•502）=f（1），同樣可求出f（2012）=f（0），從而再帶入x∈[0，2）的f（x）解析式即可求得結(jié)果．

解答 解：由已知條件得：f（x+4）=f（x）；
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
∴f（x+4k）=f（x）；
又f（x）是偶函數(shù)，x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1）；
∴f（-2011）+f（2012）=f（3+4•502）+f（0+4•503）=f（3）+f（0）=f（-3）+f（0）=f（1）+f（0）=log₂2+log₂1=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 考查對f（x+2）=-f（x）的認(rèn)識能力，周期函數(shù)的定義，偶函數(shù)的定義，已知函數(shù)求值，以及對于1的對數(shù)和底的對數(shù)的掌握．