Question

若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x-2）=-f（x），給出下列4個結(jié)論：
①f（2）=0；  
②f（x）是以4為周期的函數(shù)；
③f（x+2）=f（-x）； 
④f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱；
其中所有正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：①令x=2，則f（0）=-f（2），則f（2）=-f（0），
∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），
∴f（0）=0，則f（2）=-f（0）=0，故①正確．
②∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：f（x-2）=-f（x），
即f（x+2）=-f（x），則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則函數(shù)的周期的定義可以得到：函數(shù)f（x）的周期T=4，故②正確；
③②∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：f（x-2）=-f（x），則f（x）=-f（x+2），
即f（x+2）=-f（x），故③正確．
④∵f（x-2）=-f（x）=f（-x），
∴函數(shù)關(guān)于x=-1對稱，故④錯誤．
綜上正確的命題時①②③，
故答案為：①②③．

點評：此題考查了函數(shù)的周期定義及利用定義求函數(shù)的周期，還考查了函數(shù)的對稱及與圖象的平移變換，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)．