Question

15．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，公比q=2，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=2a₁，則$\frac{1}{n}+\frac{4}{m}$的最小值為$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=2a₁，可得${a}_{1}^{2}$2^m+n-2=4${a}_{1}^{2}$，m+n=4．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=2a₁，
∴${a}_{1}^{2}$2^m+n-2=4${a}_{1}^{2}$，
∴m+n=4．
則$\frac{1}{n}+\frac{4}{m}$=$\frac{1}{4}（m+n）$$（\frac{1}{n}+\frac{4}{m}）$=$\frac{1}{4}（5+\frac{m}{n}+\frac{4n}{m}）$≥$\frac{1}{4}（5+2\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{4n}{m}}）$=$\frac{9}{4}$，等號不成立，因此當(dāng)且僅當(dāng)m=3，n=1時(shí)，則$\frac{1}{n}+\frac{4}{m}$的最小值為$\frac{7}{3}$．
故答案為：$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式的性質(zhì)、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．