Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax³+x²（a∈R）在x=$-\frac{4}{3}$處取得極值．
（Ⅰ）確定a的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）e^x，討論g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）=ax³+x²（a∈R）在x=$-\frac{4}{3}$處取得極值，可得f′（-$\frac{4}{3}$）=0，即可確定a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（$\frac{1}{2}$x³+x²）e^x，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得g（x）的單調(diào)性．

解答 解：（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)得f′（x）=3ax²+2x．
∵f（x）=ax³+x²（a∈R）在x=$-\frac{4}{3}$處取得極值，
∴f′（-$\frac{4}{3}$）=0，
∴3a•$\frac{16}{9}$+2•（-$\frac{4}{3}$）=0，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（$\frac{1}{2}$x³+x²）e^x，
∴g′（x）=（$\frac{3}{2}$x²+2x）e^x+（$\frac{1}{2}$x³+x²）e^x=$\frac{1}{2}$x（x+1）（x+4）e^x，
令g′（x）=0，解得x=0，x=-1或x=-4，
當(dāng)x＜-4時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)-4＜x＜-1時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；
綜上知g（x）在（-∞，-4）和（-1，0）內(nèi)為減函數(shù)，在（-4，-1）和（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查分類(lèi)討論的思想方法，以及函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．