Question

7．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且a_n+1=2a_n+2ⁿ，（n∈N^*），求該數(shù)列的通項公式．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}+1$，$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=1，由此能求出該數(shù)列的通項公式．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且a_n+1=2a_n+2ⁿ，（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}+1$，$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1+（n-1）×1=n，
∴該數(shù)列的通項公式：${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．