Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，△ABC為等邊三角形，且AB=$\sqrt{2}$BB₁=$\sqrt{2}$，則AB₁與C₁B所成的角的大小為（　�。�

• A． 60°
• B． 90°
• C． 105°
• D． 75°

Answer 1

分析 根據(jù)條件可作出圖形，并且得到B₁A₁=B₁B，根據(jù)向量的加法及數(shù)乘的幾何意義便可得到$\overrightarrow{A{B}_{1}}=-（\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{1}B}）$，$\overrightarrow{{C}_{1}B}=-\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{1}B}$，從而可求得$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=0$，這樣即可得出AB₁和C₁B所成角的大�。�

解答 解：如圖，根據(jù)條件，AB=$\sqrt{2}$，B₁B=1；
又$\overrightarrow{A{B}_{1}}=-（\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{1}B}）$，$\overrightarrow{{C}_{1}B}=-\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{1}B}$；
$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$$-\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}B}+\overrightarrow{{B}_{1}B}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}-{\overrightarrow{{B}_{1}B}}^{2}$=1-1=0；
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}⊥\overrightarrow{{C}_{1}B}$；
∴AB₁和C₁B所成的角的大小為90°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查三棱柱的定義，向量加法的平行四邊形法則，向量加法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，向量的方法求異面直線所成角的大小，以及異面直線所成角的概念．