分析 求出球半徑為,根據(jù)圖形找出直線C1M與平面ABD所成角,解三角形即可.
解答 解:如圖所示,設(shè)O為球心,E、F分別為△ABD、△C1BD的外接圓圓心,
則有OE⊥面ABD,OF⊥面C1BD,
∵菱形ABCD中,∠BAD=$\frac{π}{3}$,AB=3
∴△ABD、△C1BD為等邊△,故E、F分別為△ABD、△C1BD的中心.
∵球O的表面積為16π,∴球半徑為2.
在直角△AOM中,OA=2,AE=$\frac{2}{3}AM=\sqrt{3}$,⇒QE=1.
tan∠OME=$\frac{OE}{EM}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$,
∵C1M⊥DB,AM⊥DB,∴DB⊥面AMC1,
∴∠C1MA(或其補角)就是直線C1M與平面ABD所成角.
∠C1MA=2∠OME,tan∠C1MA=tan(2∠OME)=$\frac{2×\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{4}{3}}=-4\sqrt{3}$,
sin∠C1MA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$,
直線C1M與平面ABD所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{3}}{7}$,
故答案為:$\frac{4\sqrt{3}}{7}$.
點評 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系,找出線面角是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.
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A. | (0,2] | B. | [-2,0)∪(0,2] | C. | (-∞,-2]∪[2,+∞) | D. | (-∞,-1]∪[1,+∞) |
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A. | $\frac{1}{9}$ | B. | $\frac{2}{9}$ | C. | $\frac{4}{9}$ | D. | $\frac{7}{9}$ |
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A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{4}{5}$ | D. | $\frac{1}{5}$ |
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