Question

17．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{na}_{n}}{（n+1）（{na}_{n}+1）}$（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前2015項(xiàng)的和為$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 通過對a_n+1=$\frac{{na}_{n}}{（n+1）（{na}_{n}+1）}$（n∈N^*）兩邊同時(shí)取倒數(shù)、整理可知數(shù)列{$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，通過裂項(xiàng)可知a_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：依題意，a_n＞0，
∵a_n+1=$\frac{{na}_{n}}{（n+1）（{na}_{n}+1）}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）（n{a}_{n}+1）}{n{a}_{n}}$=n+1+$\frac{n+1}{n}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{n+1}$•$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+n-1=n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n（n+1），
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{a_n}的前2015項(xiàng)的和為：1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．