Question

4．已知P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左頂點，如果存在過點M（x₀，0）（x₀＞0）的直線交橢圓于A、B兩點，使得S_△AOB=2S_△AOP，則x₀的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$]
• B． [$\sqrt{3}$，2）
• C． （1，2）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 如圖所示，設直線AB的方程為：ty=x-x₀，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立化為（4+t²）y²-2tx₀y+${x}_{0}^{2}$-4=0．△＞0．由于S_△AOP=$\frac{1}{2}×|OP|•{y}_{1}$=y₁，S_△AOB=$\frac{1}{2}{x}_{0}|{y}_{1}-{y}_{2}|$．S_△AOB=2S_△AOP，可得2y₁=$\frac{1}{2}{x}_{0}|{y}_{1}-{y}_{2}|$．再利用根與系數的關系可得：t²=$\frac{{x}_{0}^{4}-4{x}_{0}^{3}+16{x}_{0}-16}{4（1-{x}_{0}）}$．令m=x₀，f（m）=m⁴-4m³+16m-16，（m∈（0，2）），利用導數研究其單調性即可得出．

解答 解：如圖所示，
設直線AB的方程為：ty=x-x₀，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（y₁＞y₂，y₁＞0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-{x}_{0}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化為（4+t²）y²+2tx₀y+${x}_{0}^{2}$-4=0．
∴△=$4{t}^{2}{x}_{0}^{2}$-4$（4+{t}^{2}）（{x}_{0}^{2}-4）$＞0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2t{x}_{0}}{4+{t}^{2}}$，①
y₁y₂=$\frac{{x}_{0}^{2}-4}{4+{t}^{2}}$，②
S_△AOP=$\frac{1}{2}×|OP|•{y}_{1}$=y₁，S_△AOB=$\frac{1}{2}{x}_{0}|{y}_{1}-{y}_{2}|$．
∵S_△AOB=2S_△AOP，
∴2y₁=$\frac{1}{2}{x}_{0}|{y}_{1}-{y}_{2}|$．
化為${y}_{2}=（1-\frac{4}{{x}_{0}}）{y}_{1}$，代入①可得：y₁=$\frac{2t{x}_{0}^{2}}{（2{x}_{0}-4）（4+{t}^{2}）}$，
∴y₂=$\frac{2t{x}_{0}（{x}_{0}-4）}{（2{x}_{0}-4）（4+{t}^{2}）}$，
∴$\frac{2t{x}_{0}^{2}}{（2{x}_{0}-4）（4+{t}^{2}）}$•$\frac{2t{x}_{0}（{x}_{0}-4）}{（2{x}_{0}-4）（4+{t}^{2}）}$=$\frac{{x}_{0}^{2}-4}{4+{t}^{2}}$，
化為t²=$\frac{{x}_{0}^{4}-4{x}_{0}^{3}+16{x}_{0}-16}{4（1-{x}_{0}）}$．（*）
令m=x₀，f（m）=m⁴-4m³+16m-16，（m∈（0，2）），
f′（m）=4m³-12m²+16=4（m-2）²（m+1），
∴函數f（m）在m∈（0，2）單調遞增，
又f（0）=-16，f（1）=-3，f（2）=0，
因此要使（*）有解，則1＜m＜2，即x₀∈（1，2）．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數的關系、三角形面積計算公式、利用導數研究函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．