Question

20．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）．為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到我市周一至周五某一時間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如表

時間	周一	周二	周三	周四	周五
車流量x（萬輛）	59	55	52	51	58
PM2.5的濃度平均值y（微克/立方米）	81	67	66	59	77

（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）規(guī)定當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（0，35]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（35，75]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為良．為使我國某日空氣質(zhì)量等級為優(yōu)或良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)？（結(jié)果保留整數(shù)）
附：線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中，$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$的回歸系數(shù)$\widehat$和$\widehat{a}$，可得y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）根據(jù)題中信息，解不等式2.42x-63.1≤75，可得x的估計值，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（59+55+52+51+58）=55，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（81+67+66+59+77）=70，…（4分）
x_i-$\overline{x}$，y_i-$\overline{y}$的取值情況如下表：

xi-$\overline{x}$	4	0	-3	-4	3
yi-$\overline{y}$	11	-3	-4	-11	7

∴$\widehat$=$\frac{\sum _{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{n}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{4×11+0×（-3）+（-3）×（-4）+（-4）×（-11）+3×7}{16+0+9+16+9}$=2.42，…（8分）
∴$\hat{a}$=$\overline{y}$-2.42$\overline{x}$=-63.1，
∴線性回歸方程為$\hat{y}$=2.42x-63.1．…（10分）
（Ⅱ）根據(jù)題中信息，解不等式2.42x-63.1≤75，得x≤57.066，
∴為使我市某天空氣質(zhì)量等級為優(yōu)或良，應(yīng)控制當(dāng)天車流量在57萬輛以內(nèi)．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了線性回歸分析的方法，用最小二乘法求回歸系數(shù)，以及用回歸方程進(jìn)行預(yù)測等知識，考查了考生數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算能力．