Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}+1}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$，若曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線x+2y-3=0平行．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{k}{{e}^{x}}$，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率由兩直線平行的條件可得a的方程，解得a；
（2）由題意可得$\frac{x}{{e}^{x}+1}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{k}{{e}^{x}}$，即k＜1-2•$\frac{x{e}^{x}}{{e}^{2x}-1}$，由g（x）=$\frac{x{e}^{x}}{{e}^{2x}-1}$，判斷函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，考慮x＞0，$\frac{x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2x-（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{2（{e}^{x}-{e}^{-x}）}$，再由2x-（e^x-e^-x）的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}+1}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a（1+{e}^{x}）-ax{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$，
y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為k=$\frac{a}{2}$-1，
由切線與直線x+2y-3=0平行，可得$\frac{a}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
解得a=1；
（2）?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{k}{{e}^{x}}$，
即為$\frac{x}{{e}^{x}+1}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{k}{{e}^{x}}$，
即k＜1-2•$\frac{x{e}^{x}}{{e}^{2x}-1}$，
由g（x）=$\frac{x{e}^{x}}{{e}^{2x}-1}$=$\frac{x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，g（-x）=$\frac{-x}{{e}^{-x}-{e}^{x}}$=g（x），
可得g（x）為偶函數(shù)，
由x＞0可得$\frac{x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2x-（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{2（{e}^{x}-{e}^{-x}）}$，
由e^x-e^-x＞0，2x-（e^x-e^-x）的導(dǎo)數(shù)為2-（e^x+e^-x），
由e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，
即有2-（e^x+e^-x）≤0，
2x-（e^x-e^-x）在x＞0遞減，可得2x-（e^x-e^-x）＜0，
可得$\frac{x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$-$\frac{1}{2}$＜0，即為得$\frac{x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$＜$\frac{1}{2}$，
即有1-2•$\frac{x{e}^{x}}{{e}^{2x}-1}$＞0，
則有k≤0．即有實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，同時考查不等式恒成立問題的解法，注意參數(shù)分離的運用和構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．