1.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是邊長為a的正三角形,AA'=$\sqrt{3}$a,則直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正切值為(  )
A.$\frac{{\sqrt{39}}}{39}$B.$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$C.$\frac{{\sqrt{13}}}{39}$D.$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$

分析 取A'C'的中點D,連接B'D,AD,由線面垂直的性質(zhì)和判定定理,得到B'D⊥平面AC',則∠B'AD即為直線AB′與側(cè)面AC′所成的角,再由解直角三角形的知識,即可得到所成的角.

解答 解:取A'C'的中點D,連接B'D,AD,
則由底面邊長為a的正三角形,
得,B'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,B'D⊥A'C',
在直三棱柱中,AA'⊥底面A'B'C',
則AA'⊥B'D,即有B'D⊥平面AC',
則∠B'AD即為直線AB′與側(cè)面AC′所成的角,
在直角三角形B'AD中,B'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,AD=$\sqrt{(\sqrt{3}a)^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a,
則tan∠B'AD=$\frac{B′D}{AD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{13}}{2}a}$=$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$,
故選:D

點評 本題考查空間直線與平面所成的角的求法,根據(jù)線面角的定義作出平面角是解決本題的關(guān)鍵.考查運算能力,屬于中檔題.

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(2)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)有且僅有一個零點,求t的取值范圍.

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