Question

16．設(shè)等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，公差d≠0．
（1）若a₁=1，且數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：1，$\sqrt{3}$，2不可能是等差數(shù)列{a_n}中的三項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式即可得出．
（2）假設(shè)1，$\sqrt{3}$，2分別為等差數(shù)列{a_n}中第m，n，r項(xiàng)，則$\left\{\begin{array}{l}{1={a}_{1}+（m-1）d}\\{\sqrt{3}={a}_{1}+（n-1）d}\\{2={a}_{1}+（r-1）d}\end{array}\right.$，可得$\sqrt{3}$-1=$\frac{n-m}{r-m}$，而左邊為無(wú)理數(shù)，右邊為有理數(shù)即可得出矛盾．

解答 （1）解：∵數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，
∴$2×\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$，∴$\frac{2（2+d）}{1+d}$=1+$\frac{3+3d}{1+2d}$，化為d²-d=0，∵d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）證明：假設(shè)1，$\sqrt{3}$，2分別為等差數(shù)列{a_n}中第m，n，r項(xiàng)，
則$\left\{\begin{array}{l}{1={a}_{1}+（m-1）d}\\{\sqrt{3}={a}_{1}+（n-1）d}\\{2={a}_{1}+（r-1）d}\end{array}\right.$，
解得$\sqrt{3}$-1=$\frac{n-m}{r-m}$，
∵m，n，r為正整數(shù)，∴上式左端為無(wú)理數(shù)，右端為有理數(shù)，故等式不能成立，
因此，假設(shè)不成立，因此1，$\sqrt{3}$，2不可能為等差數(shù)列{a_n}中的三項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、實(shí)數(shù)的性質(zhì)、反證法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．