Question

12．已知函數(shù)f（x）=sinx，0＜x₁＜x₂$＜\frac{π}{2}$，則下列四個命題中正確的是（　�。�
①[x₁f（x₁）-x₂f（x₂）]（x₁-x₂）＜0
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
③f（x₁）+x₂＞f（x₂）+x₁
④x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₁f（x₂）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①令g（x）=xsinx，x∈$（0，\frac{π}{2}）$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷出正誤；
②令h（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈$（0，\frac{π}{2}）$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷出正誤；
③令v（x）=-x+sinx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷出正誤；
④由②可得：$\frac{sin{x}_{1}}{{x}_{1}}＞\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}$，即x₂sinx₁＞x₁sinx₂，因此x₂sinx₂-x₁sinx₂＞x₂sinx₂-x₂sinx₁，即$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}＞$$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，又$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}$，即可判斷出正誤．

解答 解：①令g（x）=xsinx，x∈$（0，\frac{π}{2}）$，則g′（x）=sinx+xcosx＞0，∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵0＜x₁＜x₂$＜\frac{π}{2}$，∴[x₁f（x₁）-x₂f（x₂）]（x₁-x₂）＞0，因此不正確；
②令h（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴h′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，令u（x）=xcosx-sinx，u′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0，∴u（x）＜u（0）=0，
∴h′（x）＜0，∴函數(shù)h（x）在x∈$（0，\frac{π}{2}）$單調(diào)遞減，∵0＜x₁＜x₂$＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＞\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，∴x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）正確；
③令v（x）=-x+sinx，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)v（x）在x∈$（0，\frac{π}{2}）$單調(diào)遞減，∵$0＜{x}_{1}＜{x}_{2}＜\frac{π}{2}$，∴v（x₁）＞v（x₂），∴f（x₁）+x₂＞f（x₂）+x₁，正確；
④由②可得：$\frac{sin{x}_{1}}{{x}_{1}}＞\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}$，即x₂sinx₁＞x₁sinx₂，∴x₂sinx₂-x₁sinx₂＞x₂sinx₂-x₂sinx₁，∴$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}＞$$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，又$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}$，
∴$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，可得x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₁f（x₂），因此正確．
綜上可得：②③④正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．