Question

7．求f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$的奇偶性和單調(diào)性，并畫出它的圖象．

Answer 1

分析 先求函數(shù)f（x）的定義域，說明定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后求f（-x）=-f（x），從而判斷該函數(shù)為奇函數(shù)．要畫出該函數(shù)的圖象，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，從而知道圖象的變化趨勢，找?guī)讉�(gè)點(diǎn)描出，并判斷x趨向-1，1時(shí)，f（x）趨向情況，從而連線畫出圖象．

解答 解：f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠±1}；
f（-x）=$-\frac{x}{{x}^{2}-1}=-f（x）$；
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
f′（x）=$-\frac{{x}^{2}+1}{（{x}^{2}-1）^{2}}＜0$，所以該函數(shù)在（-∞，-1），（-1，1），（1，+∞）上為減函數(shù)；
取這樣幾個(gè)點(diǎn)：（-2，$-\frac{2}{3}$），（0，0），（2，$\frac{2}{3}$），x趨向-1時(shí)，f（x）趨向-∞，趨向1時(shí)，f（x）趨向+∞；
所以畫出其圖象如下：
．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)定義域的特點(diǎn)，奇函數(shù)的定義及判斷方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)圖象的變化趨勢及幾個(gè)特殊點(diǎn)畫函數(shù)圖象的方法．