Question

1．已知A（2，1），B（3，2），D（-1，4），
（1）求證：$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$；
（2）若四邊形ABCD為矩形，試確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若M為直線OD上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取最小值時(shí)，求$\overrightarrow{OM}$的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得證；
（2）設(shè)C（m，n），求得向量BC，DC的坐標(biāo)，再由向量垂直的條件，解方程即可得到C的坐標(biāo)；
（3）直線OD的方程為y=-4x，設(shè)M（x，-4x），求出向量MA，MB的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到向量OM的坐標(biāo)．

解答 （1）證明：A（2，1），B（3，2），D（-1，4），
則$\overrightarrow{AB}$=（1，1），$\overrightarrow{AD}$=（-3，3），
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=1×（-3）+1×3=0，
則有$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$；
（2）解：若四邊形ABCD為矩形，則$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
設(shè)C（m，n），則$\overrightarrow{BC}$=（m-3，n-2），$\overrightarrow{DC}$=（m+1，n-4），
即有$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$=（m-3）•（m+1）+（n-2）（n-4）=0，
$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$=m-3+n-2=0，
解得，m=3，n=2（舍去），或m=0，n=5．
即有C0，5）；
（3）解：直線OD的方程為y=-4x，設(shè)M（x，-4x），
則$\overrightarrow{MA}$=（2-x，1+4x），$\overrightarrow{MB}$=（3-x，2+4x），
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（2-x）（3-x）+（1+4x）（2+4x）=17x²+7x+8
=17（x+$\frac{7}{34}$）²+$\frac{495}{68}$，
當(dāng)x=-$\frac{7}{34}$時(shí)，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取最小值．
即有$\overrightarrow{OM}$的坐標(biāo)為（-$\frac{7}{34}$，$\frac{14}{17}$）．

點(diǎn)評 本題考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．