Question

5．已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{12}$時取得最大值為4． 若$x∈[-\frac{π}{4}，0]$，則f（x）的值域為[-4，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的最小正周期的求法求得此函數(shù)的最小正周期．由函數(shù)的最大值求A，根據(jù)函數(shù)在x=$\frac{π}{12}$時取得最大值為4，求得φ，從而得到函數(shù)的解析式．根據(jù)$x∈[-\frac{π}{4}，0]$，結(jié)合正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ），故函數(shù)的最小正周期為T=$\frac{2π}{3}$，
由函數(shù)的最大值為4可得A=4，
由函數(shù)在x=$\frac{π}{12}$時取得最大值4可得 4sin（3×$\frac{π}{12}$+φ）=4，
故 $\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z．
結(jié)合0＜φ＜π，可得 φ=$\frac{π}{4}$．
綜上，函數(shù)f（x）=4sin（3x+$\frac{π}{4}$），
∵$x∈[-\frac{π}{4}，0]$，
∴$-\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{4}$，
∴-1≤sin（3x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-4≤4sin（3x+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$，
∴$x∈[-\frac{π}{4}，0]$，則f（x）的值域為[-4，2$\sqrt{2}$]，
故答案為：[-4，2$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的最小正周期、單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．