Question

2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinAsinC-$\sqrt{3}$asinBcosC=0
（1）求角C的值；
（2）若a=8，c=7，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡csinA=$\sqrt{3}$acosC．求出tanC=$\sqrt{3}$，進(jìn)而可求C．
（2）利用余弦定理可求b的值，根據(jù)三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）∵bsinAsinC-$\sqrt{3}$asinBcosC=0，
∴由正弦定理得  sinBsinCsinA=$\sqrt{3}$sinAsinBcosC，…3分
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴sinA＞0．sinB＞0，從而sinC=$\sqrt{3}$cosC，
又∵cosC≠0，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
可得：C=$\frac{π}{3}$．…5分
（2）由（1）可得C=$\frac{π}{3}$，a=8，c=7，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=64+b²-2×$8bcos\frac{π}{3}$=49，
∴b=3，或b=5，…8分
∴當(dāng)b=3時，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=6$\sqrt{3}$；
當(dāng)b=5時，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=10$\sqrt{3}$．…10分．

點評 本題主要考查三角形的有關(guān)知識，考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式、三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，是�？碱}型，屬于中檔題．