Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+b）x+b，（0≤x≤1）其中a＞0，b為任意常數(shù)．
（I）若b=$\frac{1}{2}$，f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|在x∈[0，1]有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的范圍．
（II）當(dāng)|f（0）|≤2，|f（1）|≤2時(shí)，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，去掉絕對(duì)值，關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出|f（x）|的最大值．

解答 解：（I）$f（\frac{1}{2}）=-\frac{a}{4}＜0$----（1分）
①當(dāng)$0≤x＜\frac{1}{2}$時(shí)，則$3a{x^2}-（2a+1）x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-x$，即3ax²-2ax=0，解得x=0----（3分）
②當(dāng)$\frac{1}{2}≤x≤1$時(shí)，則$3a{x^2}-（2a+1）x+\frac{1}{2}=x-\frac{1}{2}$，即3ax²-2（a+1）x+1=0
令t（x）=3ax²-2（a+1）x+1，因?yàn)?t（\frac{1}{2}）=-\frac{a}{4}＜0$，只要t（1）=a-1≥0即可----（5分）
所以a≥1----（6分）
（II）設(shè)|f（x）|的最大值為M
①當(dāng)$\frac{a+b}{3a}≥1$，函數(shù)f（x）在[0，1]遞減函數(shù)，M=|f（0）|≤2----（8分）
②當(dāng)$\frac{a+b}{3a}≤0$，函數(shù)f（x）在[0，1]遞增函數(shù)，M=|f（1）|≤2----（10分）
③當(dāng)$0＜\frac{a+b}{3a}＜1$時(shí)，即-a＜b＜2a時(shí)，$|f（\frac{a+b}{3a}）|=\frac{{{a^2}+{b^2}-ab}}{3a}$
（ⅰ）當(dāng)$0＜\frac{a+b}{3a}＜\frac{1}{2}$時(shí)，即$-a＜b＜\frac{a}{2}$
則$0＜a+b＜\frac{3a}{2}$，則f（1）-$|f（\frac{a+b}{3a}）|=\frac{{2{a^2}-{b^2}-2ab}}{3a}$=$\frac{{3{a^2}-{{（a+b）}^2}}}{3a}$$≥\frac{a^2}{4}$＞0
所以  M≤2----（12分）
（ⅱ）當(dāng)$\frac{1}{2}＜\frac{a+b}{3a}＜1$時(shí)，即$\frac{a}{2}＜b＜2a$時(shí)，可得$（b-\frac{a}{2}）（b-2a）＜0$，即${a^2}+{b^2}-\frac{5ab}{2}＜0$
則f（0）-$|f（\frac{a+b}{3a}）|=\frac{{4ab-{a^2}-{b^2}}}{3a}$$＞\frac{{\frac{5ab}{2}-{a^2}-{b^2}}}{3a}$＞0
所以M≤2----（14分）
綜上M=2，當(dāng)a=2，b=2，f（x）=12x²-12x+2，M=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，是一道綜合題．