Question

8．已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)F（4，0）的距離與點(diǎn)Q到直線x=-3的距離的差等于1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)B（2，5），P（1，3），點(diǎn)Q為軌跡C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意得平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)F（4，0）的距離與點(diǎn)Q到直線x=-4的距離相等，利用拋物線定義，即可求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（2）設(shè)Q（x，y），由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$的取值范圍．

解答 解：（1）依題意得平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)F（4，0）的距離與點(diǎn)Q到直線x=-4的距離相等，
∴Q的軌跡為以F為焦點(diǎn)的拋物線，
∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程為y²=16x．
（2）$\overrightarrow{BP}$=（-1，-2），設(shè)Q（x，y），則$\overrightarrow{BQ}$=（x-2，y-5）．
$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$=-（x-2）+（-2）（y-5）=-x-2y+12
=-$\frac{{y}^{2}}{16}$-2y+12=-$\frac{1}{16}$（y+16）²+28≤28．
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$的取值范圍為（-∞，28]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義與方程，考查向量數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．