Question

17．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+x 有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，則a的取值范圍是a＜-1或a＞1．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有極大值和極小值，可知導(dǎo)數(shù)為0的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，通過(guò)△＞0，即可求出a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+x，所以函數(shù)f′（x）=x²-2ax+1，
因?yàn)楹瘮?shù)有極大值和極小值，所以方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即x²-2ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，
∴（-2a）²-4×1×1＞0，解得：a＜-1或a＞1．
故答案為a＜-1或a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)的極值為載體，考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值的應(yīng)用，將函數(shù)有極大值和極小值，轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．