Question

19．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC邊上一點，△PAD的面積為$\frac{1}{2}$，設AB=x，AD=y．

（1）求y與x的函數(shù)關系式；
（2）若∠APD=45°，當y=1時，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．

Answer 1

分析 （1）過A作AE⊥BC于點E，在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義、三角形面積的不同計算方法，即得結(jié)論；
（2）通過外角性質(zhì)及等量代換可得∠CPD=∠BAP，利用△ABP～△PCD可得AB的值，進而可得結(jié)論；
（3）取AD的中點F，連結(jié)PF，過P作PH⊥AD，通過PF≥PH，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)及三角形面積計算公式即得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過A作AE⊥BC于點E，
在Rt△ABE中，∠E=45°，AB=x，
∴AE=AB•sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵S_△APD=$\frac{1}{2}$AD•AE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•y•$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{\sqrt{2}}{x}$；
（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，
∴∠CPD=∠BAP，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP～△PCD，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{PB}{DC}$，
∴PB•PC=AB•DC=AB²，
當y=1時，x=$\sqrt{2}$，即AB=$\sqrt{2}$，
則PB•PC=$（\sqrt{2}）^{2}$=2；
（3）如圖2，取AD的中點F，連結(jié)PF，
過P作PH⊥AD，可得PF≥PH，
當PF=PH時，PF有最小值，
又∵∠APD=90°，
∴PF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$y，
∴PH=$\frac{1}{2}$y，
∵S_△APD=$\frac{1}{2}$•AD•PH=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•y•$\frac{1}{2}$•y≥$\frac{1}{2}$，即y²≥2，
∵y＞0，
∴當取“=”時，y取最小值$\sqrt{2}$，
則y的最小值為$\sqrt{2}$．

點評 本題是一道相似型的綜合題，涉及到等腰梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及三角形的面積求法，熟練掌握相似三角形的判斷與性質(zhì)是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．