Question

（1）求函數(shù)f（x）=-x²+2x+3（-2≤x≤3）的值域．
（2）求方程lg（3-x）-lg（3+x）=lg（1-x）-lg（2x+1）的實(shí)數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域問題，（2）將方程變形為（3-x）（2x+1）=（1-x）（3+x），解出即可；

解答： （1）求函數(shù)f（x）=-x²+2x+3（-2≤x≤3）的值域．
解：∵函數(shù)f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4在區(qū)間[-2，1]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f（-2）≤f（x）≤f（1），即-5≤f（x）≤4，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f（3）≤f（x）≤f（1），即0≤f（x）≤4；
∴函數(shù)f（x）=-x²+2x+3（-2≤x≤3）的值域?yàn)閇-5，4]∪[0，4]=[-5，4]．
（2）解方程lg（3-x）-lg（3+x）=lg（1-x）-lg（2x+1）
解：由原對(duì)數(shù)方程得lg（3-x）+lg（2x+1）=lg（1-x）+lg（3+x），
lg[（3-x）（2x+1）]=lg[（1-x）（3+x）]，
于是（3-x）（2x+1）=（1-x）（3+x），x²-7x=0
解這個(gè)方程，得x₁=0，x₂=7．
經(jīng)檢驗(yàn)：x₂=7是增根，
因此，原方程的實(shí)數(shù)根是x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域問題，解方程問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．