Question

16．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2（x=0）}\\{lo{g}_{3}|x|（x≠0）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則bc=（　�。�

• A． -9
• B． 9
• C． -16
• D． 16

Answer 1

分析 設(shè)t=f（x），作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，得到t的取值情況即可求出結(jié)論．

解答 解：設(shè)t=f（x），
則關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0
等價(jià)為t²+bt+c=0，
作出f（x）的圖象如圖：
由圖象可知當(dāng)t=2時(shí)，方程f（x）=2有三個(gè)根，
當(dāng)t≠2時(shí)方程f（x）=t有兩個(gè)不同的實(shí)根，
∴若若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，
則等價(jià)為t²+bt+c=0只有一個(gè)根t=2，
由f（x）=2得，x=0，或者log₃|x|=2，
即得x=±9，
即三個(gè)根x₁，x₂，x₃，分別為0，9或-9，
由韋達(dá)定理可得2+2=-b，2×2=c，
即b=-4，c=4，可得bc=-16．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為二次方程，根據(jù)二次方程根的分布是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．