Question

11．根據(jù)十八大的精神，全國(guó)在逐步推進(jìn)教育教學(xué)制度改革，各高校自主招生在高考錄取中所占的比例正在逐漸加大．對(duì)此，某高校在今年的自主招生考試中制定了如下的規(guī)則：筆試階段，考生從6道備選試題中一次性抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題，至少正確完成其中2道試題則可以進(jìn)入面試．已知考生甲正確完成每道題的概率為$\frac{2}{3}$，且每道題正確完成與否互不影響；考生乙能正確完成6道試題中的4道題，另外2道題不能完成．（Ⅰ）求考生甲至少正確完成2道題的概率；
（Ⅱ）求考生乙能通過(guò)筆試進(jìn)入面試的概率；
（Ⅲ）記所抽取的三道題中考生乙能正確完成的題數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，求考生甲至少正確完成2道題的概率；
（Ⅱ）確定基本事件數(shù)，即可求出考生乙能通過(guò)筆試進(jìn)入面試的概率；
（Ⅲ）確定ξ的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)考生甲至少正確完成2道題的概率為P，則P=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}•\frac{1}{3}+{C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{20}{27}$；
（Ⅱ）基本事件總數(shù)為${C}_{6}^{3}$=20，考生乙能通過(guò)筆試進(jìn)入面試的基本事件數(shù)為${C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}$=16，
所以考生甲至少正確完成2道題的概率為$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$；
（Ⅲ）ξ的所有可能取值為1，2，3，則
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

Eξ=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，是歷年高考的必考題型．